Как разложить число простые числа. «Разложение на простые множители. Разложение квадратного трехчлена на множители

Разложить на множители большое число – нелегкая задача. Большинство людей затрудняются раскладывать четырех- или пятизначные числа. Для упрощения процесса запишите число над двумя колонками.

  • Разложим на множители число 6552.

  • Разделите данное число на наименьший простой делитель (кроме 1), на который данное число делится без остатка. Запишите этот делитель в левой колонке, а в правой колонке запишите результат деления. Как отмечалось выше, четные числа легко раскладывать на множители, так как их наименьшим простым множителем всегда будет число 2 (у нечетных чисел наименьшие простые множители различны).

    • В нашем примере число 6552 – четное, поэтому 2 является его наименьшим простым множителем. 6552 ÷ 2 = 3276. В левой колонке запишите 2, а в правой - 3276.

  • Далее разделите число в правой колонке на наименьший простой делитель (кроме 1), на который данное число делится без остатка. Запишите этот делитель в левой колонке, а в правой колонке запишите результат деления (продолжите этот процесс до тех пор, пока в правой колонке не останется 1).

    • В нашем примере: 3276 ÷ 2 = 1638. В левой колонке запишите 2, а в правой - 1638. Далее: 1638 ÷ 2 = 819. В левой колонке запишите 2, а в правой - 819.

  • Вы получили нечетное число; для таких чисел найти наименьший простой делитель сложнее. Если вы получили нечетное число, попробуйте разделить его на наименьшие простые нечетные числа: 3, 5, 7, 11.

    • В нашем примере вы получили нечетное число 819. Разделите его на 3: 819 ÷ 3 = 273. В левой колонке запишите 3, а в правой - 273.
    • При подборе делителей опробуйте все простые числа вплоть до квадратного корня из наибольшего делителя, который вы нашли. Если ни один делитель не делит число нацело, то вы, скорее всего, получили простое число и можете прекратить вычисления.

  • Продолжите процесс деления чисел на простые делители до тех пор, пока в правой колонке не останется 1 (если в правой колонке вы получили простое число, разделите его само на себя, чтобы получить 1).

    • Продолжим вычисления в нашем примере:
      • Разделите на 3: 273 ÷ 3 = 91. Остатка нет. В левой колонке запишите 3, а в правой - 91.
      • Разделите на 3. 91 делится на 3 с остатком, поэтому разделите на 5. 91 делится на 5 с остатком, поэтому разделите на 7: 91 ÷ 7 = 13. Остатка нет. В левой колонке запишите 7, а в правой - 13.
      • Разделите на 7. 13 делится на 7 с остатком, поэтому разделите на 11. 13 делится на 11 с остатком, поэтому разделите на 13: 13 ÷ 13 = 1. Остатка нет. В левой колонке запишите 13, а в правой - 1. Ваши вычисления закончены.

  • В левой колонке представлены простые множители исходного числа. Другими словами, при перемножении всех чисел из левой колонки вы получите число, записанное над колонками. Если один множитель появляется в списке множителей несколько раз, используйте показатели степени для его обозначения. В нашем примере в списке множителей 2 появляется 4 раза; запишите эти множители как 2 4 , а не как 2*2*2*2.

    • В нашем примере 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Вы разложили число 6552 на простые множители (порядок множителей в этой записи не имеет значения).

    • Что значит разложить на простые множители? Как это сделать? Что можно узнать по разложению числа на простые множители? Ответы на эти вопросы иллюстрируются конкретными примерами.

    Определения:

    Простым называют число, которое имеет ровно два различных делителя.

    Составным называют число, которое имеет более двух делителей.

    Разложить натуральное число на множители - значит представить его в виде произведения натуральных чисел.

    Разложить натуральное число на простые множители - значит представить его в виде произведения простых чисел.

    Замечания:

    • В разложении простого числа один из множителей равен единице, а другой - самому этому числу.
    • Говорить о разложении единицы на множители не имеет смысла.
    • Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличен от 1.

    Разложим число 150 на множители. Например, 150 - это 15 умножить на 10.

    15 - это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 3.

    10 - это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 2.

    Записав вместо 15 и 10 их разложения на простые множители, мы получили разложение числа 150.

    Число 150 можно по-другому разложить на множители. Например, 150 - это произведение чисел 5 и 30.

    5 - число простое.

    30 - это число составное. Его можно представить как произведение 10 и 3.

    10 - число составное. Его можно разложить на простые множители 5 и 2.

    Мы получили разложение числа 150 на простые множители другим способом.

    Заметим, что первое и второе разложение одинаковы. Они отличаются только порядком следования множителей.

    Принято записывать множители в порядке возрастания.

    Всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом с точностью до порядка множителей.

    При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбик:

    Наименьшее простое число, на которое делится 216 - это 2.

    Разделим 216 на 2. Получим 108.

    Полученное число 108 делится на 2.

    Выполним деление. Получим в результате 54.

    Согласно признаку делимости на 2 число 54 делится на 2.

    Выполнив деление, получим 27.

    Число 27 заканчивается на нечетную цифру 7 . Оно

    Не делится на 2. Следующее простое число - это 3.

    Разделим 27 на 3. Получим 9. Наименьшее простое

    Число, на которое делится 9, - это 3. Три - само является простым числом, оно делится на себя и на единицу. Разделим 3 на себя. В итоге мы получили 1.

    • Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения.
    • Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.

    Рассмотрим примеры:

    4900 делится на простые числа 2, 5 и 7. (они входят в разложение числа 4900), но не делится, например, на 13.

    11 550 75. Это так, потому что разложение числа 75 полностью содержится в разложении числа 11550.

    В результате деления будет произведение множителей 2, 7 и 11.

    11550 не делится на 4 потому, что в разложении четырех есть лишняя двойка.

    Найти частное от деления числа a на число b, если эти числа раскладываются на простые множители следующим образом a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

    Разложение числа b полностью содержится в разложении числа a.

    Результат деления a на b - это произведение оставшихся в разложении числа a трех чисел.

    Итак, ответ: 30.

    Список литературы

    1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012.
    2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. - Гимназия. 2006.
    3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 1989.
    4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
    5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. - М.: ЗШ МИФИ, 2011.
    6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. - М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
    1. Интернет-портал Matematika-na.ru ().
    2. Интернет-портал Math-portal.ru ().

    Домашнее задание

    1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. - М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
    2. Другие задания: № 133, № 144.

    Любое натуральное число можно разложить на произведение простых множителей. Если вы не любите иметь дело с большими числами, такими как 5733, научитесь раскладывать их на простые множители (в данном случае это 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Подобная задача часто встречается в криптографии, которая занимается проблемами информационной безопасности. Если вы еще не готовы создать собственную систему безопасной электронной почты, для начала научитесь раскладывать числа на простые множители.

    Шаги

    Часть 1

    Нахождение простых множителей

    1. Начните с исходного числа. Выберите составное число больше 3. Нет смысла брать простое число, так как оно делится лишь на само себя и единицу.

      • Пример: разложим на произведение простых чисел число 24.

    2. Разложим данное число на произведение двух множителей. Найдем два меньших числа, произведение которых равно исходному числу. Можно использовать любые множители, но проще взять простые числа. Один из хороших способов состоит в том, чтобы попробовать поделить исходное число сначала на 2, затем на 3, потом на 5 и проверить, на какие из этих простых чисел оно делится без остатка.

      • Пример: если вы не знаете множителей для числа 24, попробуйте поделить его на малые простые числа. Так вы обнаружите, что данное число делится на 2: 24 = 2 x 12 . Это хорошее начало.
      • Поскольку 2 является простым числом, его хорошо использовать при разложении четных чисел.

    3. Начните строить дерево множителей. Эта простая процедура поможет вам разложить число на простые множители. Для начала проведите от исходного числа две "ветки" вниз. На конце каждой ветки напишите найденные множители.

      • Пример:

    4. Разложите на множители следующую строку чисел. Взгляните на два новых числа (вторая строка дерева множителей). Оба ли они относятся к простым числам? Если одно из них не является простым, также разложите его на два множителя. Проведите еще две ветки и напишите два новых множителя в третьей строке дерева.

      • Пример: 12 не является простым числом, поэтому его следует разложить на множители. Используем разложение 12 = 2 x 6 и запишем его в третьей строке дерева:
      • 2 x 6

    5. Продолжайте двигаться вниз по дереву. Если один из новых множителей окажется простым числом, проводите от него одну "ветку" и пишите на ее конце это же число. Простые числа не раскладываются на меньшие множители, поэтому просто переносите их на уровень ниже.

      • Пример: 2 является простым числом. Просто перенесите 2 из второй в третью строку:
      • 2 2 6

    6. Продолжайте раскладывать числа на множители, пока у вас не останутся одни простые числа. Проверяйте каждую новую строку дерева. Если хоть один из новых множителей не является простым числом, разложите его на множители и запишите новую строку. В конце концов у вас останутся одни простые числа.

      • Пример: 6 не является простым числом, поэтому его также следует разложить на множители. В то же время 2 представляет собой простое число, и мы переносим две двойки на следующий уровень:
      • 2 2 6
      • / / /\
      • 2 2 2 3

    7. Запишите последнюю строку в виде произведения простых множителей. В конце концов у вас останутся одни простые числа. Когда это случится, разложение на простые множители завершено. Последняя строка представляет собой набор простых чисел, произведение которых дает исходное число.

      • Проверьте ответ: перемножьте стоящие в последней строке числа. В результате должно получиться исходное число.
      • Пример: в последней строке дерева множителей содержатся числа 2 и 3. Оба этих числа являются простыми, поэтому разложение завершено. Таким образом, разложение числа 24 на простые множители имеет следующий вид: 24 = 2 x 2 x 2 x 3 .
      • Порядок множителей не имеет значения. Разложение можно записать также в виде 2 x 3 x 2 x 2.

    8. При желании упростите ответ с помощью степенной записи. Если вы знакомы с возведением чисел в степень, можно записать полученный ответ в более простом виде. Помните, что внизу записывается основание, а надстрочное число показывает, сколько раз это основание следует умножить на само себя.

      • Пример: сколько раз встречается число 2 в найденном разложении 2 x 2 x 2 x 3? Три раза, поэтому выражение 2 x 2 x 2 можно записать в виде 2 3 . В упрощенной записи получаем 2 3 x 3.

      Часть 2

      Использование разложения на простые множители

      1. Найдите наибольший общий делитель двух чисел. Наибольшим общим делителем (НОД) двух чисел называется максимальное число, на которое оба числа делятся без остатка. В приведенном ниже примере показано, как с помощью разложения на простые множители найти наибольший общий делитель чисел 30 и 36.

        • Разложим оба числа на простые множители. Для числа 30 разложение имеет вид 2 x 3 x 5. Число 36 раскладывается на простые множители следующим образом: 2 x 2 x 3 x 3.
        • Найдем число, которое встречается в обоих разложениях. Перечеркнем это число в обоих списках и напишем его с новой строки. Например, 2 встречается в двух разложениях, поэтому запишем 2 в новой строке. После этого у нас остается 30 = 2 x 3 x 5 и 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
        • Повторяйте это действие, пока в разложениях не останется общих множителей. В оба списка входит также число 3, поэтому в новой строке можно записать 2 и 3 . После этого вновь сравните разложения: 30 = 2 x 3 x 5 и 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Как видно, в них не осталось общих множителей.
        • Чтобы найти наибольший общий делитель, следует найти произведение всех общих множителей. В нашем примере это 2 и 3, поэтому НОД равен 2 x 3 = 6 . Это наибольшее число, на которое делятся без остатка числа 30 и 36.

      2. С помощью НОД можно упрощать дроби. Если вы подозреваете, что какую-то дробь можно сократить, используйте наибольший общий делитель. По описанной выше процедуре найдите НОД числителя и знаменателя. После этого поделите числитель и знаменатель дроби на это число. В результате вы получите ту же дробь в более простом виде.

        • К примеру, упростим дробь 30 / 36 . Как мы установили выше, для 30 и 36 НОД равен 6, поэтому поделим числитель и знаменатель на 6:
        • 30 ÷ 6 = 5
        • 36 ÷ 6 = 6
        • 30 / 36 = 5 / 6

      3. Найдем наименьшее общее кратное двух чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел - это наименьшее число, которое делится без остатка на оба данных числа. Например, НОК 2 и 3 является 6, поскольку это наименьшее число, которое делится на 2 и 3. Ниже приведен пример нахождения НОК с помощью разложения на простые множители:

        • Начнем с двух разложений на простые множители. Например, для числа 126 разложение можно записать как 2 x 3 x 3 x 7. Число 84 раскладывается на простые множители в виде 2 x 2 x 3 x 7.
        • Сравним, сколько раз каждый множитель встречается в разложениях. Выберите тот список, где множитель встречается максимальное число раз, и обведите это место. Например, число 2 встречается один раз в разложении для числа 126 и дважды в списке для 84, поэтому следует обвести 2 x 2 во втором списке множителей.
        • Повторите это действие для каждого множителя. Например, 3 встречается чаще в первом разложении, поэтому следует обвести в нем 3 x 3 . Число 7 встречается по одному разу в обоих списках, так что обводим 7 (неважно в каком списке, если данный множитель встречается в обоих списках одинаковое число раз).
        • Чтобы найти НОК, перемножьте все обведенные числа. В нашем примере наименьшим общим кратным чисел 126 и 84 является 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252 . Это наименьшее число, которое делится на 126 и 84 без остатка.

      4. Используйте НОК для сложения дробей. При сложении двух дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого найдите НОК двух знаменателей. Затем умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на такое число, чтобы знаменатели дробей стали равны НОК. После этого можно сложить дроби.

        • Например, необходимо найти сумму 1 / 6 + 4 / 21 .
        • С помощью приведенного выше метода можно найти НОК для 6 и 21. Оно равно 42.
        • Преобразуем дробь 1 / 6 так, чтобы ее знаменатель равнялся 42. Для этого необходимо поделить 42 на 6: 42 ÷ 6 = 7. Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на 7: 1 / 6 x 7 / 7 = 7 / 42 .
        • Чтобы привести вторую дробь к знаменателю 42, поделим 42 на 21: 42 ÷ 21 = 2. Умножим числитель и знаменатель дроби на 2: 4 / 21 x 2 / 2 = 8 / 42 .
        • После того как дроби приведены к одинаковому знаменателю, их можно легко сложить: 7 / 42 + 8 / 42 = 15 / 42 .

    Разложение числа на простые множители – это часто встречающаяся задача, которую нужно уметь решать. Разложение на простые множители может потребоваться при нахождении НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное), а также при проверке, являются ли числа взаимно простыми.

    Все числа можно разделить на два основных типа:

    • Простое число – это число, которое делится только на само себя и на 1.
    • Составное число – это число, которое имеет другие делители, кроме самого себя и 1.

    Чтобы проверить, является ли число простым или составным, можно воспользоваться специальной таблицей простых чисел.

    Таблица простых чисел

    Для удобства вычислений все простые числа были собраны в таблицу. Ниже приведена таблица простых чисел из диапазона от 1 до 1000.

    2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37
    41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89
    97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151
    157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223
    227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
    283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359
    367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
    439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503
    509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593
    599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
    661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743
    751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827
    829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911
    919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

    Разложение на простые множители

    Для разложения числа на простые множители можно использовать таблицу простых чисел и признаки делимости чисел . До тех пор, пока число не станет равно 1, нужно подбирать простое число, на которое делится текущее, и выполнять деление. Если не удалось подобрать ни одного множителя, не равного 1 и самому числу, то число простое. Рассмотрим, как это делается на примере.

    Разложить на простые множители число 63140.

    Чтобы не потерять множители, будем записывать их в столбик, как показано на картинке. Такое решение является достаточно компактным и удобным. Рассмотрим его подробнее.

    Любое составное число можно представить в виде произведения его простых делителей:

    28 = 2 · 2 · 7

    Правые части полученных равенств называют разложением на простые множители чисел 15 и 28.

    Разложить данное составное число на простые множители - значит представить это число в виде произведения его простых делителей.

    Разложение данного числа на простые множители выполняется следующим образом:

    1. Сначала нужно подобрать самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое данное составное число делится без остатка, и выполнить деление.
    2. Далее, нужно опять подобрать самое маленькое простое число, на которое уже полученное частное будет делиться без остатка.
    3. Выполнение второго действия повторяют до тех пор, пока в частном не получится единица.

    В качестве примера, разложим на простые множители число 940. Находим наименьшее простое число, на которое делится 940. Таким числом является 2:

    Теперь подбираем наименьшее простое число, на которое делится 470. Таким числом является опять 2:

    Наименьшее простое число, на которое делится 235 - это 5:

    Число 47 простое, значит наименьшим простым числом, на которое делится 47, будет само это число:

    Таким образом, мы получаем число 940, разложенное на простые множители:

    940 = 2 · 470 = 2 · 2 · 235 = 2 · 2 · 5 · 47

    Если в разложении числа на простые множители получилось несколько одинаковых сомножителей, то для краткости, их можно записать в виде степени:

    940 = 2 2 · 5 · 47

    Разложение на простые множители удобнее всего записывать следующим образом: сначала записываем данное составное число и справа от него проводим вертикальную черту:

    Справа от черты записываем самый маленький простой делитель, на который делится данное составное число:

    Выполняем деление и получившееся в результате деления частное записываем под делимым:

    С частным поступаем так же, как и с данным составным числом, т. е. подбираем самое маленькое простое число, на которое оно делится без остатка и выполняем деление. И так повторяем до тех пор, пока в частном не получится единица:

    Обратите внимание, что иногда бывает достаточно трудно выполнить разложение числа на простые множители, так как при разложении мы можем столкнуться с большим числом, которое сложно с ходу определить, простое оно или составное. А если оно составное, то не всегда легко найти его наименьший простой делитель.

    Попробуем к примеру разложить на простые множители число 5106:

    Дойдя до частного 851, трудно с ходу определить его наименьший делитель. Обращаемся к таблице простых чисел. Если в ней найдётся число, поставившее нас в затруднение, значит оно делится только на себя и на единицу. Числа 851 нет в таблице простых чисел, значит, оно является составным. Остаётся только методом последовательного перебора делить его на простые числа: 3, 7, 11, 13, ..., и так до тех пор, пока не найдём подходящего простого делителя. Методом перебора находим, что 851 делится на число 23.